平方根の求め方

いきなりだけど、問題。

子供たちが遊べるような、アスレチックを作ろうと思います。

その中に、丸太を山のように積んだ「丸太のぼり」を作ろうと思います。

横から見たら、三角形になるように。

５段に丸太を積んだ山を作るには、何本の丸太を用意すればいいでしょうか。

まず、丸太を１本おいてみます。

こんな状態。

三角の山？　といえるかどうかはわかりませんが、これで「１段」が完成です。

丸太２本ではどうなるでしょう。

これは、三角ではありません。もう一本、上に乗せましょう。

３本で、２段完成。

３段にするにはどうすればよいでしょう。

これでいいですね。６本必要でした。

次は４段。

全部で１０本です。

そして、目的の５段。

全部で１５本です。

１段は段数と同じ１本でできたのに、５段では段数の３倍の１５本も必要でした。

１段目から５段まで、必要な丸太の数は、全部で

　１、３、６、１０、１５

でした。

全部で、ではなく「前の段から増えた数」で考えると、

　１、２、３、４、５

となっています。

このように三角形に積むと、段数が増えるにしたがって「段数と同じ数」の丸太が新たに必要だということがわかります。

このような数を全部あわせて、「三角数」と呼びます。

１は、１番目の三角数。

３は、２番目の三角数。

６は、３番目の三角数。

１０は、４番目の三角数。

１５は、５番目の三角数。

…です。この数は、いくらでも続きます。

ところで、先ほど、「前の段から増えた数」として紹介した数は、１つづつ増えています。

このような、「前の数との差」を、「階差」と呼びます。

今、「１つづつ増える」と書きましたが、この「１」も階差です。

言い換えれば、「１、２、３、４、５」という数字の階差は、どれも１である、ということ。

ここで、「１、２、３、４、５」は、元になった数字からすぐに計算された階差なので「１次階差」と呼びます。

１次階差の階差、つまり「１づつ増える」、の「１」は、「２次階差」と呼びます。

三角数は複雑な数をたくさん集めたものですが、２次階差まで求めると、「１」という、単純な数に落ち着くことがわかります。

ではつぎに、箱を「正方形に」並べることを考えてみます。

正方形…といっても、元の箱の形がわからないので、「縦横同じ数に」並べる、としておきましょう。

丸太を三角に積むのと同じように、１段だと箱１個です。

２段にすると、箱は４個必要になります。

つづいて３段。箱は９個。

４段なら１６個です。

５段にすると、２５個。

丸太と同じように、必要になった箱の数を書いてみます。

１段から５段まで、必要になった箱は全部で、

１、４、９、１６、２５個でした。

新たに必要になった分、つまり「１次階差」だけを書くと、

１、３、５、７、９個でした。

さらに計算して、２次階差は、「２」です。

丸太の場合は、新たに必要になる数は、１つづつ増えて、ちょうど段数と同じでした。

箱の場合は、２つづつ増えて、１、３、５…と奇数になっています。

では、丸太のときと同じように問題。

すでに、縦横２０個の箱が並んでいるとき、縦横を２１個に増やすには、どうすればよいでしょう？

今度は、丸太を三角に積むときよりも、少しややこしいです。計算しなくてはなりません。

２次階差が２、つまり２づつ値が増えるのですから、「２倍」すればいいような気はします。

では、１番目の１次階差は、１を２倍して、２？

２番目の１次階差は、２を２倍して、４？

そうではないですね。１、３にならなくてはなりません。

だいたい、どんな数でも、２倍すると偶数になってしまいます。先ほど「奇数」と書いたのと違います。

なので、２倍した後に、１を引いてやりましょう。

そうすれば、１番目は１、２番目は３になって、先ほど書いた１次階差と同じになります。

これを使えば、答えはすぐに出ます。

縦横を２０個から２１個に増やすとき、２１を２倍して１引いただけの箱が新たに必要です。

２１を２倍して、４２。１ひいて、４１。

答えは、４１個です。

この考え方、非常に重要。

平方根計算の、最後の最後にもう一度出てきますから、覚えて置いてください。

ところで、丸太を三角に積んだときの数を「三角数」と呼んだように、箱を四角く並べるときの数は「四角数」と呼びます。

四角数には、もうひとつ、別の呼び方もあります。

四角数にはもうひとつ、「平方数」という呼び方もあります。

やっと、「平方」という言葉の意味を、ちゃんとお伝えしました。

平方とは、図形としては「正方形」、計算としては「二乗」の意味なのです。

じゃぁ、「平方根」とは？

根というのは、ここでは「元になったもの」という意味。

二乗した数の元になった数、それが平方根です。

ここまでは大丈夫でしょうか？

これから、ここまでの知識をまとめる話に入ります。

わからなかったら少し前に戻って読み直してみましょう。

では、いきなり問題。

２５の平方根は何でしょう？

ヒントは、少し上に書いてあります。

…答えは５。

「平方数」で２５が出てきて、これは５の二乗だ、と書いてありました。

では、６４の平方根は何でしょう？

「平方数」に書いたのは、２５まで。だから、６４はノーヒント。

でも、大抵の日本人なら掛け算九九を丸暗記しているから、「同じ数の掛け合わせ」で６４になる数を、すぐ思い出せます。

答えは８。はっぱ　ろくじゅーし　って暗記できているのは日本人のすごいところです。

平方数８１（９の平方）までは丸暗記できています。

じゃぁ、１４４の平方根は？　これは丸暗記の限度を超えています。

でも、ヒントはあります。「平方根」と「平方数」は表裏一体の関係にある、ということ。

９の平方数までは丸暗記しているから、その後を考えてみましょう。

１０×１０＝１００

１１×１１＝１２１

１２×１２＝１４４

というわけで、１４４の平方根は１２。

でも、掛け算は結構面倒くさい。

平方数を、掛け算なしで計算できたら…

大丈夫。ちゃんとその方法があります。さっき、平方数は「前のものからの差が、奇数で増えていく」と書きました。

だから、

１＋３＋５＋７＋９＋１１＋１３＋…

という計算を延々とやっていくと、出来上がった数は全部平方数になります。

さっきの計算、もう一度見てみましょう。

１０×１０＝１００

１１×１１＝１２１

１２×１２＝１４４

１０、１１、１２の間の「差」に注目すると、２１、２３と増えている。じゃぁ、その次の「２５」を足せば、次の平方数ができるはず。

１４４＋２５＝１６９

これは、１３の平方数です。同じように、次々平方数を作り出せます。

１６９＋２７＝１９６

１９６＋２９＝２２５

２２５＋３１＝２５６

２５６は１６の平方数。パソコン使っているとよく見る数字ですね。

…手で計算すると、面倒くさい。

でも、「平方根」を求めるために…つまり、「何の平方かわからない」数と比較するために、つぎつぎと平方数を知りたいときには、掛け算を何度も行うよりも効率がいい。

とりあえず、ここまでの知識で、それほど大きくない数の平方根の「概略」程度は求められます。

１０００の平方根は、３１～３２の間にある、という程度には。