無限大

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無限大

無限大の「定義」

無限大

自然数と整数の数は、同じ。

どうして？　整数の定義って、「自然数と、０と、マイナスの自然数」なのだから、自然数より多いのではないの？

その理屈はこうです。

「どちらが多いか」は「比較」の問題だから、対応付けなくてはなりません。

自然数は、普通に「数を数えるときに使う数」です。

なので、対応付ける、を言い換えれば「整数を数え上げろ」と言っているのと同じです。

まず、整数の 0 を「１番目」と数えましょう。この１番目は、自然数の１と対応付ける、と言う意味です。

整数の 1 は「２番目」。整数の -1 は「３番目」。

整数の 2 は「４番目」、整数の -2 は「５番目」。

…続けていくと、次の関係ができ上がります。

0 は１番目。

正の整数 n は、2*n 番目。

負の整数 -n は、2*n+1 番目。

たとえば、整数の 50 を数え上げるとき、「100番目」となります。

ということは、自然数 100 が存在している、ということです。

ならば、整数も 100 までは存在するはずですね。そこまでは数えられるはずです。

100 は「200番目」です。なら、整数も 200 まで存在するはず。

…これ、当たり前のことですが、キリがありません。

自然数はいくらでも存在します。無量大数を超えて日本語の呼び名がなくなったって…

いや、そもそも「呼び名」なんて関係ありません。数自体はどこまでも存在するのです。

比較というのは、対応付けていって、どちらかがなくなった時点で終了するものでした。

このとき、なくなったほうが少ない、余ったほうが多い、とわかります。

しかし、自然数と整数の対応付けはどこまで行っても終わりません。

これは、どちらかが多い、どちらかが少ない、と言うことではない、ということになります。

だから、整数と自然数の数は、「同じ」です。どちらも、その個数は、無限大。

無限大の「定義」

納得しがたい人もいるでしょうから、もう少し説明を付けておきます。

先に書いたように、整数の数は、自然数の２倍はありそうに思えます。

でも、自然数も、整数も、その個数を数えることは現実的にはできません。いつまでも大きな数を作り出せるからです。

この問題は、簡単な「算数」に見えて、数えられないものを数え上げよ、という無理難題を言っているのです。

ここに落とし穴があります。落とし穴に気づかないと、答えを聞いても「納得いかない」ままになります。

「算数」では比較できなくても、「数学」では比較可能です。

算数は数しか扱わないけど、数学はもっと哲学的な領域、「数とは何か」にまで踏み込むからです。

自然数や整数の個数は数えられません。

そこで、「どんな数よりも大きい」という概念として、「無限大」を定義します。

無限大は「概念」であることに注意が必要です。概念ですから、数と違って計算できません。

数であれば、１を足すだけで「より大きな数」を作り出すことができます。

しかし、無限大は計算できないので、無限大より大きな数は作り出せません。

自然数の個数を数えようとしても、「１を足したらより大きな数」ができてしまうために、数えきることができません。

そこで、どんな大きな数よりも大きい、という概念を使って「個数は無限大」とします。

整数の数は、自然数の２倍でしょうか？

整数は無限大の２倍ある、としてしまうと、「無限大は、無限大の２倍より小さい」ことになってしまいます。

これは、無限大が「どんな数よりも大きい」という定義に反してしまいます。やっぱり、無限大は計算できないのです。

ですから、自然数の個数も、整数の個数も、同じ無限大。

この無限大は「概念」であり、数ではありませんから、「どちらも同じ数だけある」というのは厳密ではありません。

どちらが多い、少ないとは言えず、同等な数が存在すると考えられる、というのが厳密な表現かな。

…やっぱり納得できない？　そういう場合は、あきらめて「丸呑みする」しか無いでしょう。

だって、これ「定義」なんですから。誰かがそう定めた、というだけで、計算して出せるような結論では無いのです。