平方根(ルート)の求め方


要望が多いので、タイガー計算機のページで書いた、平方根の求め方を詳細解説することにします。

小学生でもわかる…つもりで、懇切丁寧に解説しますが、そのぶん文章は長くなっています。

少しづつ、理解しながら読み進んでください。わからなくなったら、少し前に戻って気長にどうぞ。

目次

三角数

階差

四角数

平方数

平方根

このページのまとめ


続ページの目次

その2 比較する 小さな数の平方根 強力な「武器」 大きな数の平方根

その3 100の倍数でない平方根 桁をずらす もっと簡単な方法

その4 実用計算 小数点以下を続ける

その5 最後に




三角数

いきなりだけど、問題。

子供たちが遊べるような、アスレチックを作ろうと思います。

その中に、丸太を山のように積んだ「丸太のぼり」を作ろうと思います。

横から見たら、三角形になるように。


5段に丸太を積んだ山を作るには、何本の丸太を用意すればいいでしょうか。


まず、丸太を1本おいてみます。


1個の丸太

こんな状態。

三角の山? といえるかどうかはわかりませんが、これで「1段」が完成です。

丸太2本ではどうなるでしょう。


2個の丸太

これは、三角ではありません。もう一本、上に乗せましょう。


3個の丸太

3本で、2段完成。

3段にするにはどうすればよいでしょう。


6個の丸太

これでいいですね。6本必要でした。

次は4段。


10個の丸太

全部で10本です。

そして、目的の5段。


15個の丸太

全部で15本です。

1段は段数と同じ1本でできたのに、5段では段数の3倍の15本も必要でした。


1段目から5段まで、必要な丸太の数は、全部で

 1、3、6、10、15

でした。


全部で、ではなく「前の段から増えた数」で考えると、

 1、2、3、4、5

となっています。


このように三角形に積むと、段数が増えるにしたがって「段数と同じ数」の丸太が新たに必要だということがわかります。

このような数を全部あわせて、「三角数」と呼びます。


1は、1番目の三角数。

3は、2番目の三角数。

6は、3番目の三角数。

10は、4番目の三角数。

15は、5番目の三角数。


…です。この数は、いくらでも続きます。


階差

ところで、先ほど、「前の段から増えた数」として紹介した数は、1つづつ増えています。

このような、「前の数との差」を、「階差」と呼びます。


今、「1つづつ増える」と書きましたが、この「1」も階差です。

言い換えれば、「1、2、3、4、5」という数字の階差は、どれも1である、ということ。


ここで、「1、2、3、4、5」は、元になった数字からすぐに計算された階差なので「1次階差」と呼びます。

1次階差の階差、つまり「1づつ増える」、の「1」は、「2次階差」と呼びます。


三角数は複雑な数をたくさん集めたものですが、2次階差まで求めると、「1」という、単純な数に落ち着くことがわかります。


余談ですが、多くの数式が、何次かの階差で単純な数字に落ち着くことがわかっています。
 この性質を利用して、正確な数表を作ろうとしたのが、バベジの階差機関でした。



さて、ではここで問題。

すでに35段の丸太が積んであるとして、36段に増やすには、新たに何本の丸太が必要でしょう?


35段の丸太ですから、その数は「35番目の三角数」ですが、ここではこの数を計算する必要はありません。

36段に増やすために必要な本数ですから、36番目の1次階差がわかればいいのです。


1次階差は、1、2、3、4、5、…と増えていました。

だから、36番目の1次階差は、36。


35段の丸太を36段に増やすには、36本が新たに必要。これが答えです。

ここで大切なのは、「全体の数はすぐにわからなくても、階差ならすぐにわかる」ということです。


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(ページ作成 2011-12-08)

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