平方根を求める(2)


目次

比較する

小さな数の平方根

強力な「武器」

交換則100の平方根

大きな数の平方根



比較する

さて、ここまでは大丈夫?

このページでは、前のページとは話の方向が少し変わるよ。


一気に読むのがつらければ、このページをブックマークしておいて後で読むといいよ。

ここまでと違う話だから、気分を変えたほうが頭に入りやすいかも。




前のページでは、平方数を作って、調べたい数と「比較する」ことで平方根を求めました。


…ところで、比較するってどういうこと? 数学的な意味は?



再確認するためにも、「比較」の初歩的な問題をひとつ。


りんごが7つ、バナナが5つありました。

どちらが、どれだけ多いでしょう。



答えは、りんごが2つ多い。

りんごの7から、バナナの5を引いた結果が、2だから。



では、次の問題ならどうする?


りんごが5つ、バナナが7つありました。

どちらが、どれだけ多いでしょう。


最初に「バナナが多い」と考えて、7-2を計算するのは…まぁ、小学校の算数ならそれでいいでしょう。


でも、今は「比較って何だろう」ということを考えているのだから、計算式を立てる前に「バナナが多い」などと「比較」するのはやめておきます。

とりあえず、文章の中に出てきた数字を、そのままの順番で使ってみましょう。


5-7=-2


りんごがー2個多い。つまり、りんごのほうが2個少ない。

これは、バナナが2個多い、という意味です。



つまり、2つの数字を「引き算」して、答えが正なら先に出てきた数が、答えが負なら後に出てきた数が、多かったということになります。


ちなみに、答えが「0」なら数は同じだった、ということ。

これが、数学的な意味での「比較」です。


小さな数の平方根


話を平方根に戻しましょう。


平方数をつぎつぎと作るのは「足し算」でできることがわかりました。

そして、比較は「引き算」でできることがわかりました。


これを組み合わせて、9の平方根を求めてみましょう。


まず、最初の平方数、1。

比較してみます。9-1=8。0じゃない。つまり「同じ」ではないので、答えじゃない。


つぎに、1+3=4。これが「次の平方数」です。

比較してみます。9-4=5。0ではないので、答えじゃない。


さらに、4+5=9。

比較してみます。9-9=0。 …元の数と平方数が同じになった。これが答えです。


ここまでに、3回の計算をしました。ということは、9と、3番目の平方数…つまり、3×3が同じだった、ということです。

というわけで、9の平方根は3。


これで、足し算して、引き算して、足し算して、引き算して…の繰り返しだけで、平方根が求められることがわかります。




ところで、最後の部分の計算だけを、もう一度別の方法で書いてみます。


9-(1+3+5)=0


1+3+5 というのは、平方数を作る計算。3つの足し算で作っている平方数だから、3の平方です。

この式は、9と、3番目の平方数を比べてみたら、同じだった、という意味になります。



もっと式を簡単にしてみましょう。括弧をなくしてみます。

括弧の前が引き算なのだから、括弧の中の足し算を全部引き算に変えると、括弧をとることができます。


9-1-3-5=0



…足し算がなくなりました!


先ほど、平方根を求めるのは、足し算と引き算を交互に繰り返す作業でできる、ということを書きました。

でも、本当は足し算はいらない。引き算だけでできます。


ちなみに、多くの場合結果が「0」にはなりません。

マイナスになった「直前」が、「本当の平方根を超えない、最大の整数」になっています。


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(ページ作成 2011-12-08)

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