平方根を求める（２）
目次
比較する
さて、ここまでは大丈夫？
このページでは、前のページとは話の方向が少し変わるよ。
一気に読むのがつらければ、このページをブックマークしておいて後で読むといいよ。
ここまでと違う話だから、気分を変えたほうが頭に入りやすいかも。
前のページでは、平方数を作って、調べたい数と「比較する」ことで平方根を求めました。
…ところで、比較するってどういうこと？ 数学的な意味は？
再確認するためにも、「比較」の初歩的な問題をひとつ。
りんごが７つ、バナナが５つありました。
どちらが、どれだけ多いでしょう。
答えは、りんごが２つ多い。
りんごの７から、バナナの５を引いた結果が、２だから。
では、次の問題ならどうする？
りんごが５つ、バナナが７つありました。
どちらが、どれだけ多いでしょう。
最初に「バナナが多い」と考えて、７－２を計算するのは…まぁ、小学校の算数ならそれでいいでしょう。
でも、今は「比較って何だろう」ということを考えているのだから、計算式を立てる前に「バナナが多い」などと「比較」するのはやめておきます。
とりあえず、文章の中に出てきた数字を、そのままの順番で使ってみましょう。
５－７＝－２
りんごがー２個多い。つまり、りんごのほうが２個少ない。
これは、バナナが２個多い、という意味です。
つまり、２つの数字を「引き算」して、答えが正なら先に出てきた数が、答えが負なら後に出てきた数が、多かったということになります。
ちなみに、答えが「０」なら数は同じだった、ということ。
これが、数学的な意味での「比較」です。
小さな数の平方根
話を平方根に戻しましょう。
平方数をつぎつぎと作るのは「足し算」でできることがわかりました。
そして、比較は「引き算」でできることがわかりました。
これを組み合わせて、９の平方根を求めてみましょう。
まず、最初の平方数、１。
比較してみます。９－１＝８。０じゃない。つまり「同じ」ではないので、答えじゃない。
つぎに、１＋３＝４。これが「次の平方数」です。
比較してみます。９－４＝５。０ではないので、答えじゃない。
さらに、４＋５＝９。
比較してみます。９－９＝０。 …元の数と平方数が同じになった。これが答えです。
ここまでに、３回の計算をしました。ということは、９と、３番目の平方数…つまり、３×３が同じだった、ということです。
というわけで、９の平方根は３。
これで、足し算して、引き算して、足し算して、引き算して…の繰り返しだけで、平方根が求められることがわかります。
ところで、最後の部分の計算だけを、もう一度別の方法で書いてみます。
９－（１＋３＋５）＝０
１＋３＋５ というのは、平方数を作る計算。３つの足し算で作っている平方数だから、３の平方です。
この式は、９と、３番目の平方数を比べてみたら、同じだった、という意味になります。
もっと式を簡単にしてみましょう。括弧をなくしてみます。
括弧の前が引き算なのだから、括弧の中の足し算を全部引き算に変えると、括弧をとることができます。
９－１－３－５＝０
…足し算がなくなりました！
先ほど、平方根を求めるのは、足し算と引き算を交互に繰り返す作業でできる、ということを書きました。
でも、本当は足し算はいらない。引き算だけでできます。
ちなみに、多くの場合結果が「０」にはなりません。
マイナスになった「直前」が、「本当の平方根を超えない、最大の整数」になっています。