平方根の求め方・詳細

目次

三角数

階差

四角数

平方数

平方根

このページのまとめ


四角数


ではつぎに、箱を「正方形に」並べることを考えてみます。

正方形…といっても、元の箱の形がわからないので、「縦横同じ数に」並べる、としておきましょう。


丸太を三角に積むのと同じように、1段だと箱1個です。


1個の箱

2段にすると、箱は4個必要になります。


4個の箱

つづいて3段。箱は9個。


9個の箱

4段なら16個です。


16個の箱

5段にすると、25個。


25個の箱

丸太と同じように、必要になった箱の数を書いてみます。


1段から5段まで、必要になった箱は全部で、

1、4、9、16、25個でした。


新たに必要になった分、つまり「1次階差」だけを書くと、

1、3、5、7、9個でした。


さらに計算して、2次階差は、「2」です。


丸太の場合は、新たに必要になる数は、1つづつ増えて、ちょうど段数と同じでした。

箱の場合は、2つづつ増えて、1、3、5…と奇数になっています。




では、丸太のときと同じように問題。

すでに、縦横20個の箱が並んでいるとき、縦横を21個に増やすには、どうすればよいでしょう?


今度は、丸太を三角に積むときよりも、少しややこしいです。計算しなくてはなりません。


2次階差が2、つまり2づつ値が増えるのですから、「2倍」すればいいような気はします。


では、1番目の1次階差は、1を2倍して、2?

2番目の1次階差は、2を2倍して、4?


そうではないですね。1、3にならなくてはなりません。

だいたい、どんな数でも、2倍すると偶数になってしまいます。先ほど「奇数」と書いたのと違います。


なので、2倍した後に、1を引いてやりましょう。

そうすれば、1番目は1、2番目は3になって、先ほど書いた1次階差と同じになります。



これを使えば、答えはすぐに出ます。

縦横を20個から21個に増やすとき、21を2倍して1引いただけの箱が新たに必要です。


21を2倍して、42。1ひいて、41。


答えは、41個です。


2倍して、1を引く。

この考え方、非常に重要。

平方根計算の、最後の最後にもう一度出てきますから、覚えて置いてください。


ところで、丸太を三角に積んだときの数を「三角数」と呼んだように、箱を四角く並べるときの数は「四角数」と呼びます。

四角数には、もうひとつ、別の呼び方もあります。


平方数

四角数にはもうひとつ、「平方数」という呼び方もあります。


「方」とは四角のこと。「水は方円の器に従う」の「方」です。

「平」は、平面、たいら、2次元であること。


ただ「四角」というだけでは、縦横だけでなく、高さもある「箱」かもしれません。「縦横」と、「縦横高さ」では、並べる数がぜんぜん違ってきます。

だから「四角数」ではなく、より厳密な「平方数」という呼び名があるのです。


ちなみに、高さもある場合は「平方」ではなくて「立方」になります。




綺麗に四角く(平方に)並んでいるものの数は、(縦の数)×(横の数)で簡単に計算できます。

先ほどの「箱を並べる」例では、縦も横も同じになるように、という条件だったので、縦と横は同じ数です。つまり、段数の二乗(同じものを2回 かける こと)で数がわかります。



二乗ではなく、「自乗」と呼ぶこともあります(読みは、どちらも「じじょう」です)。自乗は「自分自身を掛けた数」、つまり、同じ数を2回掛けたもの、という意味で、同じものになります。

ということは、先ほど書いた四角数、


1、4、9、16、25


は、それぞれが


1、2、3、4、5


の二乗になっている、ということです。




先ほど「平方」とは四角く並べたもの、と書きましたが、「二乗」の意味もあります。

四角数、ではただ四角ければいいみたいに聞こえますが、平方数といえば、縦横が同じでないといけない、とはっきり伝えられるのですね。

わざわざ、四角数、平方数という、2つの名前がついていることは、ちゃんと意味があるのです。


平方根


やっと、「平方」という言葉の意味を、ちゃんとお伝えしました。

平方とは、図形としては「正方形」、計算としては「二乗」の意味なのです。

じゃぁ、「平方根」とは?


根というのは、ここでは「元になったもの」という意味。

二乗した数の元になった数、それが平方根です。


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(ページ作成 2011-12-08)

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