平方根の求め方・詳細
目次
四角数
ではつぎに、箱を「正方形に」並べることを考えてみます。
正方形…といっても、元の箱の形がわからないので、「縦横同じ数に」並べる、としておきましょう。
丸太を三角に積むのと同じように、１段だと箱１個です。
２段にすると、箱は４個必要になります。
つづいて３段。箱は９個。
４段なら１６個です。
５段にすると、２５個。
丸太と同じように、必要になった箱の数を書いてみます。
１段から５段まで、必要になった箱は全部で、
１、４、９、１６、２５個でした。
新たに必要になった分、つまり「１次階差」だけを書くと、
１、３、５、７、９個でした。
さらに計算して、２次階差は、「２」です。
丸太の場合は、新たに必要になる数は、１つづつ増えて、ちょうど段数と同じでした。
箱の場合は、２つづつ増えて、１、３、５…と奇数になっています。
では、丸太のときと同じように問題。
すでに、縦横２０個の箱が並んでいるとき、縦横を２１個に増やすには、どうすればよいでしょう？
今度は、丸太を三角に積むときよりも、少しややこしいです。計算しなくてはなりません。
２次階差が２、つまり２づつ値が増えるのですから、「２倍」すればいいような気はします。
では、１番目の１次階差は、１を２倍して、２？
２番目の１次階差は、２を２倍して、４？
そうではないですね。１、３にならなくてはなりません。
だいたい、どんな数でも、２倍すると偶数になってしまいます。先ほど「奇数」と書いたのと違います。
なので、２倍した後に、１を引いてやりましょう。
そうすれば、１番目は１、２番目は３になって、先ほど書いた１次階差と同じになります。
これを使えば、答えはすぐに出ます。
縦横を２０個から２１個に増やすとき、２１を２倍して１引いただけの箱が新たに必要です。
２１を２倍して、４２。１ひいて、４１。
答えは、４１個です。
この考え方、非常に重要。
平方根計算の、最後の最後にもう一度出てきますから、覚えて置いてください。
ところで、丸太を三角に積んだときの数を「三角数」と呼んだように、箱を四角く並べるときの数は「四角数」と呼びます。
四角数には、もうひとつ、別の呼び方もあります。
平方数
四角数にはもうひとつ、「平方数」という呼び方もあります。
「方」とは四角のこと。「水は方円の器に従う」の「方」です。
「平」は、平面、たいら、２次元であること。
ただ「四角」というだけでは、縦横だけでなく、高さもある「箱」かもしれません。「縦横」と、「縦横高さ」では、並べる数がぜんぜん違ってきます。
だから「四角数」ではなく、より厳密な「平方数」という呼び名があるのです。
綺麗に四角く（平方に）並んでいるものの数は、（縦の数）×（横の数）で簡単に計算できます。
先ほどの「箱を並べる」例では、縦も横も同じになるように、という条件だったので、縦と横は同じ数です。つまり、段数の二乗（同じものを２回 かける こと）で数がわかります。
ということは、先ほど書いた四角数、
１、４、９、１６、２５
は、それぞれが
１、２、３、４、５
の二乗になっている、ということです。
先ほど「平方」とは四角く並べたもの、と書きましたが、「二乗」の意味もあります。
四角数、ではただ四角ければいいみたいに聞こえますが、平方数といえば、縦横が同じでないといけない、とはっきり伝えられるのですね。
わざわざ、四角数、平方数という、２つの名前がついていることは、ちゃんと意味があるのです。
平方根
やっと、「平方」という言葉の意味を、ちゃんとお伝えしました。
平方とは、図形としては「正方形」、計算としては「二乗」の意味なのです。
じゃぁ、「平方根」とは？
根というのは、ここでは「元になったもの」という意味。
二乗した数の元になった数、それが平方根です。