限りなく近い
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説明 その２
もうひとつ、別の方法で検証してみましょう。
0.999…を 10 倍すると、9.999…になります。
ここで、小数点以下は「おなじもの」です。
両方とも、9が無限に続いています。
10倍したから1桁少ない、とか言うことはありません。
なぜなら、「無限に続く」とは、桁数が無限大、ということだからです。無限大は数ではなく計算できないので、１桁少ない桁数、ということはありえません。
ここで、次の計算をしてみます。
9.999… - 0.999… = 9
小数点以下は「おなじもの」なので、小数点以下だけが消えて、 9 が残りました。
さて、ここで、 0.999…を、N として改めて式を書き直して見ます。
10*N - N = 9
9*N = 9
N = 1
以上で終わりです。
N = 0.999… として定義し、式を書いていたにもかかわらず、最終的には N=1 という結果になりました。
これは、0.999…は「１に限りなく近い」ではなく、１そのものだった、ということを意味しています。
二つの方法で計算しましたが、どちらも 0.999… = 1 であることを示しています。
最初の問いを思い出してみてください。
問いは、「0.999…と 1 の間に、実数はいくつ入るか」でした。
0.999…と 1 の間に入る、ということは、0.999…を超える数で、1 未満である必要があります。
この数には、3つの条件があります。
1番目に、整数部は 0 であること。
負の数では 0.999… 以下になりますし、1 以上であれば、1未満ではなくなります。つまり、整数部は 0 しかありえません。
2番目に、小数点以下は 9 だけを並べたものであること。
9 は各桁においては「一番大きい」数字です。なので、これ以外の数字が入れば、その桁によって 0.999…未満になってしまいます。つまり、並ぶ数字は 9 以外にありえません。
3番目に、0.999…よりも桁数が多いこと。
小数点以下に並ぶ数は 9 だけなのですから、桁数が同じか少なければ「以下」であり、超えたことになりません。
ここで、1番目と2番目の条件は問題ないのですが、3番目の条件は絶対に満たせません。
なぜなら、0.999…は、小数点以下が無限に並ぶからです。「無限」である以上、それ以上の桁数にできるはずがありません。
最初に、どんな2つの数字の間にも、無限に実数が入ると説明しました。
これは、厳密に言えば、「異なる２つの」数字の間です。
同じ数字の場合は、「間」が存在しないため、実数は１つも入ることができません。
そして、0.999… と 1 の間には、実数が入り混むことはできません。やはり「間」がないからです。
これは、実はこの２つの数字が、同じものであることを意味しています。
ここでも、直感的に納得できないのは「無限」というものが理解を超える概念だからです。